Całka podwójna po okręgu

Granica górna początkowo biegnie po niebieskiej parabolia później po czarnej hiperboli. Mamy, że:. Opisujemy obszary i :.

Całka podwójna po obszarze kalkulator

Zatem pole obszaru wynosi:. Liczymy oddzielnie każdą z całek. Teraz pole obszaru. Otrzymaliśmy, że pole obszaru wynosi. Podobnie jak w poprzednim podpunkcie dzielimy obszar na dwa obszary igdyż zmienia się granica dolna tego obszaru. Początkowo biegnie po czarnej prosteja później po czerwonej krzywej. Granicą górną jest cały czas niebieska prosta.

Przy omawianiu całkowania przez części wyprowadzony był wzór na:. Przybliżenie podaliśmy tylko po to, aby przekonać się czy wartość wyszła dodatnia. Liczymy pole obszaru :. Dzielimy obszar na dwa obszary igdyż zmienia się granica górna tego obszaru. Początkowo biegnie po niebieskiej prosteja później po czerwonej gałęzi górnej paraboli.

Granicą dolnąjest cały czas czerwona dolna gałąź paraboli. Ponownie wykorzystujemy wzór:. Mamy: Liczymy całkę w nawiasie okrągłym: Pozostaje nam do policzenia całka pojedyncza po zmiennej :.

Całka podwójna kalkulator

Pokaż rozwiązanie. Rozwiązanie Zauważmy, że teraz kolejność różniczek jest inna niż w podpunkcie 1co wskazuje, że najpierw liczymy całkę po zmienneja później po zmiennej. Zatem: Liczymy całkę w nawiasie okrągłym: Została nam całka pojedyncza po zmiennej : Wykorzystaliśmy wzór pojawił się przy całkowaniu przez części :.

Rozwiązanie Kolejność różniczek wskazuje, że najpierw całkujemy po zmienneja później po. Wykorzystamy wcześniejszy wzór: U nas ponieważ całkujemy po współczynnik: i. Zatem: Ze wzoru redukcyjnego mamywięc. Rozwiązanie Kolejność różniczek wskazuje, że najpierw liczymy całkę po zmienneja później po zmiennej.

Zatem: Liczymy całkę w nawiasie okrągłym:. Wykorzystujemy wzór: Ponieważ całkujemy powięc u nas. Wykorzystujemy wzór: U nas. Rozwiązanie Ponieważ jest to całka po prostokącie nie ma potrzeby rysowania obszaru całkowania. Całka podwójna po okręgu - opis obszaru przesunięty okrąg Post autor: poziomkaag » 18 wrześniaPodwójna po kole, przepraszam za pomyłkę.

Dzięki za pomoc. Czy tak będzie dobrze? Całka podwójna po kole - opis obszaru przesunięte koło Post autor: szw » 18 wrześniaTak. Oczywiście jest, ale przelicz to sama. Całka podwójna po kole - opis obszaru przesunięte koło Post autor: szw » 19 wrześniaDziękuję.

Rozwiązanie Kolejność różniczek wskazuje, że najpierw całkujemy po zmienneja później po. Wykorzystamy wcześniejszy wzór: U nas ponieważ całkujemy po współczynnik: i.

Całki podwójne - obliczanie pól powierzchni i objętości

Zatem: Ze wzoru redukcyjnego mamywięc. Rozwiązanie Kolejność różniczek wskazuje, że najpierw liczymy całkę po zmienneja później po zmiennej. Zatem: Liczymy całkę w nawiasie okrągłym:. Wykorzystujemy wzór: Ponieważ całkujemy powięc u nas. Wykorzystujemy wzór: U nas. Rozwiązanie Ponieważ jest to całka po prostokącie nie ma potrzeby rysowania obszaru całkowania.

Możemy zatem liczyć: lub Policzmy np. Mamy: Wykorzystamy wzór: U nas. Mamy: Zmienną traktujemy jak stałą, całkujemy najpierw względem zmiennej :. Możemy zatem liczyć: lub W tym przykładzie łatwiej jest najpierw policzyć całkę po zmiennejgdyż po zmiennej musielibyśmy użyć metody przez podstawienie. My liczymy całkę: Wykorzystujemy wzór: U nasgdyż całkę liczymy po zmienneja współczynnik przy wynosi 1.

Zatem: Ze wzoru redukcyjnego mamy, że. Zatem: Całkę nieoznaczoną liczymy przez podstawienie. Możemy zatem liczyć: lub W tym przykładzie łatwiej jest najpierw policzyć całkę po zmiennej.

Całka podwójna po obszarze o dowolnym kształcie. Całka podwójna po obszarze, który nie ma kształtu prostokąta, wymaga wykonania delikatnej operacji wyznaczenia granic całkowania. Z tego artykułu dowiesz się, jak to zrobić i zapoznasz się z kilkoma przykładami.

Zatem policzmy całkę: Policzmy najpierw całkę: Wstawiamy ten wynik do całki podwójnej: Pojawiają się znowu całki liczone ze wzoru na całkowanie przez części: U nas dla całkigdyżzaś dlagdyż. Rozwiązanie W tego typu zadaniu okręgu jest poprawny rysunek obszaru. Zatem obszar zapiszemy jako: Dostaliśmy w ten sposób granice całkowania.

Zatem: Najpierw całkujemy po zmiennej traktujemy jak stałą. Rozwiązanie Narysujmy obszar : Z rysunku widzimy, że zmienna zmienia się od 1 do 2, zaś granicą dolną zmiennej podwójna hiperbola czarnaa granicą górną prosta czerwona. Zatem: Całkujemy po zmiennej traktujemy jak stałą. Rozwiązanie Wykonujemy rysunek. Zatem: Całkujemy po zmiennejtraktując jak stałą.

Przekształćmy równania prostych: Z całka widzimy, że zmienna zmienia się od 0 do 1. Zatem: Liczymy całkę po zmiennejzmienną traktujemy jak stałą:. Rozwiązanie Pole dowolnego obszaru wyraża się wzorem: Należy narysować obszarktórego pole mamy liczyć. Obszar, którego pole liczymy zapisze się jako: Zatem pole wyraża się wzorem: Zatem pole obszaru wynosi 2.

Mamy, że: Opisujemy obszary i : Zatem pole obszaru wynosi: Liczymy oddzielnie każdą z całek. Pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości x x x x :. Podobnie jak poprzednio, możesz to sobie wyobrazić jako dodawanie do siebie objętości wielu cienkich jak papier plasterków. Ta całka nie jest prosta do obliczenia, więc ze względów praktycznych możemy posłużyć się Wolframem Alpha lub jakimkolwiek narzędziem do całkowania numerycznego.

Inny sposób podziału na plasterki: obszar w kształcie płetwy rekina. Ten obszar wygląda jak grzbietowa płetwa rekina:. Współrzędne tego punktu wynoszą 42 4, 2 42 left parenthesis, 4, comma, 2, right parenthesis. Obliczmy teraz wysokość bryły, której podstawą jest przed chwilą przez nas opisana "płetwa rekina", a wysokość jest prostą funkcją obu zmiennych x x x x i y y y y :.

Oto jak wygląda ta bryła:. Tym razem wyobraźmy sobie, że tniemy całą objętość tej bryły na plasterki odpowiadające stałym wartościom zmiennej y y y y.

W ten sposób obliczymy powierzchnię plasterka, leżącego powyżej paska będącego częścią naszej płetwy rekina, takiego jak ten zaznaczony na czerwono na poniższym rysunku. Sprawdź, czy rozumiesz : Rozważmy jeden z pasków, odpowiadający pewnej wartości y y y y. Ile wynoszą granice całkowania po zmiennej x x x x w przypadku tego paska?

To znaczy, ile wynoszą współrzędne x x x x lewego i prawego końca paska, wyrażone jako funkcja y y y y? Sprawdź, czy rozumiesz : Oblicz tę całkę i wyznacz w ten sposób pole powierzchni jednego z plasterków, na które podzieliliśmy objętość naszej bryły, odpowiadającego stałej wartości y y y y. W ten jakże przebiegły sposób obliczona zostanie połowa objętości całej bryły.

Po raz kolejny należy zastosować mechanizm z zadania 8 w celu zamiany funkcji f x,y w funkcję f r,α i zastosowania wzoru [9]. Zanim jednak to się stanie warto rozpisać granice obszaru całkowania:. Źródło: Wikipedia.